Логика обозначения символов. Символы современной формальной логики. Некоторые специальные обозначения

⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество).

⇒ {\displaystyle \Rightarrow }
→ {\displaystyle \to } \to
⊃ {\displaystyle \supset }
⟹ {\displaystyle \implies } \implies

U+003A U+229C

:= {\displaystyle:=} :=
≡ {\displaystyle \equiv }
⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow }

• U+2310 ⌐ Отменённый НЕ

Следующие операторы редко поддерживаются стандартными фонтами. Если вы хотите использовать их на своей странице, вам следует всегда встраивать нужные фонты, чтобы браузер мог отражать символы без необходимости устанавливать фонты на компьютер.

Польша и Германия

В Польше квантор всеобщности иногда записывается как ∧ {\displaystyle \wedge } , а квантор существования как ∨ {\displaystyle \vee } . То же самое наблюдается в немецкой литературе.

Мысли выразимы в слове (символе, знаке). Мышление, являясь идеальным, проявляется в языке, речи, деятельности. Нет языка вне мышления, нет мышления без языка. Под языком понимают не только естественный, но искусственный язык графических, звуковых, тактильных символов, знаков, сигналов, иероглифов. Мысль как свойство особым образом организованной материи, невозможно отделить от породившей ее материи. Мы передаем на расстояние не мысли сами по себе, а сигналы о мыслях (в виде слов, звуковых, электромагнитных колебаний), эти сигналы, воспринятые другими людьми, могут превращаться в соответствующие исходным мысли (если сигналы в процессе передачи не были искажены).

Мышление неотрывно от языка. Мышление и язык исторически и генетически формировались в связи друг с другом, сохраняя относительную самостоятельность, качественное отличие. Мышление идеально, любая знаково-сигнальная система материальна. Мышление и язык обладают помимо общих, разными свойствами. Мысль выразима в языке, в знаковой системе, но не всякий знак, символ, не всякое языковое выражение осмысленно.

Форма мысли имеет языковое выражение. Язык - материальное образование, система, позволяющая выражать, хранить, передавать, преобразовывать мысли. Мышление (мысль) -идеальная система. Элементы языка : буквы (знаки) сочетания букв, слова, словосочетания предложения. Элементы мышления : формы мысли (понятия, суждения, умозаключения). Язык логики : слова, термины, знаки (символы). В логике «термин» - синоним «понятия».

Методологическое требование логики - основополагающие понятия строго определяются, чтобы их значения были одинаковыми, общезначимыми в рамках теории. Поскольку логика некоторые понятия (категории) заимствует из философии, то она их не определяет (противоречие, тождество, различие ). Остальные слова языка логики определяются.

Символика традиционной формальной логики:

Система знаков (символов) в логике для обозначения термов, предикатов, высказываний, логических функций, отношений между высказываниями. В разных логических системах могут использоваться различные системы обозначений. Символы в литературе по логике:

S - субъект суждения : предмет мысли (логическое подлежащее), на что направлен ум; любое понятие, отражающее реальный, мнимый, материальный, идеальный предмет.

P - предикат суждения - любой признак предмета мысли (логическое сказуемое).

М - средний термин умозаключения, общее дли исходных суждений понятие.

«Есть» - «не есть» (суть - не суть) - логическая связка между субъектом и предикатом суждения, выражаемая иногда простым тире между «S» и «Р».

R - символ любого отношения.

А (а) - общеутвердительное суждение: все S есть Р (все студенты - учащиеся).

Е (е) - общеотрицательное суждение: ни одно S не есть Р (ни один студент группы не спортсмен; все студенты группы не спортсмены).

I (i) - частноутвердительное: некоторые S есть Р (некоторые студенты отличники).

О (о) - частноотрицательное суждение: S не есть Р (некоторые студенты не отличники)

«Не» - отрицательная частица, может быть выражена и чертой над знаком: В, С.

СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

1. Обозначения

1.1. Обозначения для логических связок (операций):

a) отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬А);

b) конъюнкция (логическое умножение, логическое И) обозначается /\
(например, А /\ В) либо & (например, А & В);

c) дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается \/
(например, А \/ В);

d) следование (импликация) обозначается → (например, А → В);

e) тождество обозначается ≡ (например, A ≡ B). Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны);

f) символ 1 используется для обозначения истины (истинного высказывания); символ 0 – для обозначения лжи (ложного высказывания).

1.2. Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А /\ В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).

1.3. Приоритеты логических операций: инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение), импликация (следование), тождество. Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и

((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).

Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.

2. Свойства

Приведенный ниже список НЕ претендует на полноту, но, надеемся, достаточно представителен.

2.1. Общие свойства

1. Для набора из n логических переменных существует ровно 2 n различных значений. Таблица истинности для логического выражения от n переменных содержит n+1 столбец и 2 n строк.

2.2.Дизъюнкция

1. Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется дизъюнкция, истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция истинна для этого набора значений.
2. Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже истинна.
3. Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже ложна.
4. Значение дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.

2.3. Конъюнкция

1. Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется конъюнкция, ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция ложна для этого набора значений.
2. Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже истинна.
3. Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже ложна.
4. Значение конюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.

2.4. Простые дизъюнкции и конъюнкции

Назовем (для удобства) конъюнкцию простой , если подвыражения, к которым применяется конъюнкция, – различные переменные или их отрицания. Аналогично, дизъюнкция называется простой , если подвыражения, к которым применяется дизъюнкция, – различные переменные или их отрицания.

1. Простая конъюнкция принимает значение 1 (истина) ровно на одном наборе значений переменных.
2. Простая дизъюнкция принимает значение 0 (ложь) ровно на одном наборе значений переменных.

2.5. Импликация

1. Импликация A →B равносильна дизъюнкции (¬ А) \/ В. Эту дизъюнкцию можно записать и так: ¬А \/ В.
2. Импликация A →B принимает значение 0 (ложь) только если A=1 и B=0. Если A=0, то импликация A →B истинна при любом значении B.

Язык и основные виды языков

Каждая наука, в том числе логика, строит свой язык на базе естественного языка, а именно формируя специальные слова, термины, особые знаки (символы).

Одно и то же слово естественного языка в разных науках имеет разное значение. Например, значение слова «термин» в логике используется для обозначения элементов суждения и умозаключения и выступает как синоним слова «понятие».

В данном пособии уже использованы некоторые специальные слова «языка» логики, такие как субъект, предикат, связка, термин и пр. Необходимо, чтобы основополагающие понятия определялись строго, а их значения оставались одинаковыми в рамках одного учения, теории.

Поскольку некоторые основополагающие понятия (категории) логика заимствует из философии, то сама логика их определять не может, например: «противоречие», «тождество», «различие» и пр. Однако остальные слова «языка» логики должны своевременно определяться. Обычно знакомство с «языком» логики происходит по мере ее познания. В действительности, символика традиционной формальной логики немногочисленна, и эту символику необходимо знать и уметь ею пользоваться, переводить ее на естественный язык и наоборот.

Основные символы, заменяющие главные понятия логики, S и P используются для обозначения понятий субъекта, или предмета мысли, и предиката, признака предмета мысли соответственно. Понятия «субъект» и «предикат» также используются и в философии, но имеются различия между их философским и логическим значениями. Именно в философии «субъект» - это то, что противостоит «объекту» - природе, миру в целом. По этой причине субъектом в данном смысле становится и один человек, и все человечество, т.е. общество. В логике же «субъект» - предмет мысли, о чем ведется рассуждение, это логическое подлежащее суждения. С точки зрения логики субъектом может выступать любое понятие, отражающее любой реальный или мнимый, материальный или идеальный «предмет», поскольку предметом мысли может быть все, что угодно.

«Предикаты» в философии и логике почти совпадают по значению. «Предикат» - это любой признак, присущий или не присущий тому или иному предмету (в логике - предмету мысли).

Приведем символику логики.

S - символ для обозначения субъекта суждения (логического подлежащего).

Р - символ для обозначения предиката суждения (логического сказуемого).

М - средний термин умозаключения, общее для исходных суждений понятие.

«Есть» - «не есть» (суть - не суть и пр.) - логическая связка между субъектом и предикатом суждения, выражаемая иногда с помощью тире между «S» и «Р».

R - символ любого отношения.

А (а) - символ общеутвердительного суждения («Все школьники - учащиеся»).

Е (е) - символ общеотрицательного суждения («Ни один цветок этого букета не является ромашкой»).

I(i) - символ частноутвердительного суждения («Некоторые люди миллионеры»).

О (о) - символ частноотрицательного суждения («Некоторые студенты не есть спортсмены»).

∀ - символ квантора общности, в языке выражается словом «для всякого», «для любого» и т.п.

∃ - символ квантора существования, в языке выражается словом «некоторые», «существуют такие» и т.п.

& - символ, или знак, соединительного логического союза «и» (конъюнкция).

V - символ (знак) разделительного логического союза «или» (дизъюнкция).

=> - символ условного логического союза «если, то» (импликация).

<=> - символ логического союза тождества, эквивалентности, «тогда и только тогда, когда».

«Не» - отрицательная частица, может быть выражена и чертой над знаком или тильдой ~, например: ~В или С.

О знаках речь уже шла. Теперь более подробно рассмотрим этот вопрос. Знак - это материальный объект, выступающий в процессе познания или общения в качестве представителя какого-либо объекта.

Можно выделить знаки следующих трех типов: (1) знаки-индексы; (2) знаки-образы; (3) знаки-символы.

Знаки-индексы связаны с представляемыми ими объектами материально, например, как следствия с причинами. Так, дым над лесом говорит о наличии там огня, повышенная температура человека - о заболевании, изменение цвета ногтей человека - о заболевании внутренних органов, изменение высоты ртутного столба - об изменении атмосферного давления.

Знаками-образами являются те знаки, которые сами по себе несут некоторую информацию о представляемых ими объектах (карта местности, картина, чертеж), поскольку они находятся в отношении подобия с обозначаемыми объектами.

Знаки-символы не связаны материально и не сходны с представляемыми ими объектами.

Логика исследует знаки последнего вида.

Знаки имеют, как уже было сказано, предметные и смысловые значения. Предметное значение - объект, который представляется (или обозначается) знаком. Предметное значение часто называют просто значением.

Смысловое значение - выражаемая знаком характеристика объекта, представителем которого является знак, т. е. информация об этом объекте. Информация бывает двух типов. Информация первого типа называется смыслом знака, а информация второго типа - зрительным образом, или интуитивным представлением. Смыслом называется выраженная в языке информация, которая позволяет отличать предметы, являющиеся значением знака, от всех других предметов. Информация второго типа называется также идеей. Как уже было сказано, смысловое значение может включать как смысл, так и идею. Может быть только смыслом, а может - только идеей.

Некоторые знаки не имеют значения, т. е. представляют несуществующие в области рассуждения объекты («вечный двигатель»).

Среди знаков-символов выделяют логические знаки и нелогические. Нелогические знаки называют также дескриптивными (описательными).

Логические знаки выражают наиболее общие характеристики вещей и явлений, а также мыслей. К ним относятся союзы «и», «или», «если..., то...», отрицание «неверно, что» («не»), слова, характеризующие количество предметов, о которых нечто утверждается или отрицается: «все» («ни один»), «некоторые», связка «суть» («есть»), слово «следовательно» и др. Поскольку все перечисленные выражения в обыденном языке употребляются в разных смыслах, они еще не являются знаками. Чтобы они были знаками, им нужно придать смысл. После того, как этим выражениям придается смысл, они становятся знаками и называются логическими терминами.

Пример. Союз «и» может употребляться в разных смыслах, в том числе в следующих.

Первый. Союзом выражается одновременное существование двух ситуаций. (Идет дождь, и идет снег.) В логике для того, чтобы зафиксировать смысл союза, употребляют специальный язык, называемый языком символов. В языке символов союз «и» в указанном смысле обозначается так: 8с.

Второй. Выражается последовательное существование или возникновение двух ситуаций. (Петров вышел на улицу и (потом) встретил друга.) Обозначение: 8С

Третий. Возникает некоторая ситуация, вторая ситуация возникает позже первой, но продолжает существовать, когда первая еще не закончилась. (Настало лето, и расцвели цветы.) Обозначение:

Другие логические термины вводятся ниже.

Дескриптивные термины. Знаками-символами являются имена. Имя - это слово или словосочетание, обозначающее какой-либо предмет. В качестве знаков-символов, описанных выше, как раз и выступали имена. Как было сказано, знаки, а значит и имена, имеют смысловые и (или) предметные значения. Имя, обозначающее единственный предмет, называется единичным. Имя, объем которого состоит более чем из одного предмета, называется общим. Общие имена могут быть универсальными. Универсальным называется общее имя, объемом которого является весь универсум рассуждения (предметная область, о которой ведется рассуждение). Например, «человек, знающий некоторые иностранные языки или не знающий ни одного иностранного языка». Универсум рассуждения здесь - множество (всех) людей. Объем имени - то же самое множество. Имя «человек, знающий какие-то иностранные языки» - не универсальное, поскольку его объем не совпадает с множеством (всех) людей. Универсум рассуждения определяется контекстом, в котором употребляется имя.

Могут быть имена с разными смыслами и одним и тем же объемом (например, «самый большой город Англии» и «столица Англии»), но не может быть имен с одним и тем же смыслом, но разными объемами. Имена, в объеме которых нет ни одного предмета из области рассуждения, называются мнимыми. Здесь следует обратить внимание на то, что области рассуждения (предметные области) могут быть разными. Имя «вечный двигатель» является мнимым, если областью рассуждения являются материальные предметы, существующие в действительности, или те, которые могут существовать в качестве материальных. Геометрическая точка не существует в качестве материального объекта (в реальном мире нет объектов, которые не имеют ни длины, ни высоты, ни ширины) , но она существует в предметной области геометрических объектов. По отношению к области геометрических объектов имя «точка» не является мнимым.

Различают имена, имеющие собственный смысл, и имена, не имеющие собственного смысла. Имена, имеющие собственный смысл, - это описательные имена типа «самая большая река в Европе». Смысл таких имен определяется их структурой, а также смыслами или значениями имен, составляющих эти описательные имена. Если имена, входящие в сложное имя, не имеют смысла, то описательное имя и в этом случае может иметь смысл. Этот смысл заключается в указании отношения между значениями составляющих имен, выделяемыми на основе идей. Неописательные имена типа «Волга» не имеют собственного смысла. Если они и имеют смысл, то лишь приданный. Неописательным именам придается смысл посредством описательных имен, которые ставятся им в соответствие. В описательные имена в свою очередь входят имена неописательные. Им тоже придается смысл через описательные. Очевидно, что такой процесс не может быть бесконечным, т. е. некоторые неописательные имена имеют значение, но не имеют смысла, хотя имеют идеи. Эти имена обозначают предметы, но не несут о них выраженной в языке информации, позволяющей выделять эти предметы среди других предметов. Они вводятся на основе зрительных образов или интуитивных представлений, идей. Имена, не имеющие смысла, часто являются именами с недоопределенными значениями. Эти имена не выражают понятий, но их ошибочно называют нечеткими понятиями. Таковы так называемые «оценочные понятия»: «жестокое обращение с животными»; «животное» (при решении вопроса о жестоком обращении с животными).

Недоопределенность значений имен, не имеющих смыслов, обусловлена тем, что зрительные образы и интуитивные представления об обозначаемых такими именами предметах во многих случаях у разных людей являются различными, т. е. содержат в себе элементы субъективности, что представлено на следующей схеме.

Употребление имен подчиняется определенным требованиям (принципам). Сформулируем два из этих принципов.

Первый. Принцип предметности: в предложениях должно что-либо утверждаться или отрицаться не об именах, а о значениях имен. Например, если мы говорим, что Земля - планета, то мы говорим не о слове «Земля», а о самой Земле. Конечно, иногда приходится что-то утверждать или отрицать об именах. Тогда употребляются так называемые «кавычковые имена». Например, в предложении «“Земля” - имя планеты» говорится не о небесном теле «Земля», а об имени этого небесного тела. Иногда в естественном языке встречаются случаи, когда именем имени является само исходное имя. Например, в предложении «Стол состоит из четырех букв» слово «стол» является именем самого этого слова. Такое употребление имен называется автонимным. Автонимное употребление имен недопустимо в научных языках.

Замечание. Этот принцип часто нарушается при обучении детей чтению. Обучение начинают не с изучения букв, а с изучения имен букв. Если ребенок знает имена букв, то не обязательно, что он знает буквы. Например, именем буквы б является выражение бэ. Именами гласных являются сами эти буквы. После того, как ребенок изучит имена согласных, его учат читать слоги: бэ и а читается ба, а и бэ читается аб и т. д. Такой способ обучения чтению является чрезвычайно сложным. Лучший путь - учить ребенка не именам букв, а буквам.

Второй принцип - принцип однозначности. Согласно этому принципу выражение, используемое в деловом или научном языке в качестве имени, должно быть именем только одного предмета, если это единичное имя, а если это общее имя, то данное выражение должно быть именем, общим для предметов одного класса. Данный принцип не всегда соблюдается людьми с низкой логической культурой.

Еще одним видом дескриптивных терминов являются знаки предметных функций, или предметные функторы. Эти знаки выражают предметные функции.

Функцией называется соответствие, в силу которого объекты (предмет, пара, тройка предметов и т. д.) из некоторого множества, называемого областью определения функции, соотносятся с объектами из другого или того же самого множества, называемыми значениями функции. Всем известны математические (числовые) функции - сложение чисел, вычитание, умножение, деление. В логике понимание функции обобщается.

Предметной называется функция, значениями которой являются любые предметы. Примеры предметных функций: масса, трудовой стаж, размер среднемесячного дохода, отец, столица. Применив функциональный знак «масса» к единичному имени «Земля», получим в качестве значения единичное имя «масса Земли», обозначающее определенную величину, т. е. предмет. Таким образом, данная функция сопоставляет предметы (материальные объекты, обладающие массой) с другими предметами (величинами массы). Областью определения функции «трудовой стаж» является множество людей. Областью значений - множество именованных чисел (множество лет работы). Применив эту функцию к человеку, например, к Петрову, получим именованное число, например, 20 лет. Областью определения функции «отец» является множество людей. Применив эту функцию, например, к Сократу, в качестве значения получим определенного человека.

Некоторые логические термины тоже понимаются как функции. Это уже функции другого типа - логические функции. Например, логический термин «неверно, что» (отрицание) рассматривается как функция, сопоставляющая истинное предложение с ложным, а ложное с истинным. Применив отрицание к истинному предложению «На Земле есть жизнь», получим ложное предложение «Неверно, что на Земле есть жизнь». Применив отрицание к ложному предложению «Москва - большая деревня», получим истинное предложение «Неверно, что Москва - большая деревня».

• Леонардо да Винчи пишет: «...Если ты скажешь, что прикосновение самым концомкарандаша к некоторой поверхности является созданием точки, то это будет неправильно;мы скажем, что такое прикосновение дает поверхность, окружающую свою середину,и в этой середине находится местоположение точки». См.: Жуков А. Н. НеизвестныйЛеонардо: притчи, аллегории, фацеции. Ростов, 2007. С. 79.